2.3.2.1 Свойства медиан равнобедренного треугольника

Теорема (свойства медиан равнобедренного треугольника). В равнобедренных треугольниках медианы, проведённые к основаниям треугольников, являются и биссектрисами и высотами равнобедренных треугольников

Доказательство. На рисунке 008 ABC – заданный равнобедренный треугольник, у которого основание – АС, а медиана – CD.

Треугольники CBD и CAD по первому признаку равенств треугольника будут равны между собой. Так как сторона BC и сторона AC равны, потому что треугольник ABC является равнобедренным. Угол CBD и угол CAD будут равные между собой, так как они лежат при основании данного треугольника. Сторона BD равна стороне AD, так как D – середина AB.

Следовательно, при равенстве треугольников имеет место равенство углов BCD и ACD, ADC и BDC. Так как угол BCD и угол ACD равны, то отрезок CD будет являться биссектрисой треугольника. Так как угол BDC смежен с углом ADC и данные углы равны между собой, то они будут прямыми. Следовательно, отрезок CD будет являться высотой данного треугольника. Что и требовалось доказать.